MECANICA DE MATERIALES

OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DE LA ASIGNATURA:

Al término del curso el alumno reconocerá los esfuerzos y deformaciones de sólidos sujetos a estados generales de cargas, que le permitirán solucionar problemas de mecánica de materiales en la ingeniería mecatrónica.

TEMAS Y SUBTEMAS

1. FUERZA AXIAL, CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE

1.1. Diagramas de fuerza cortante

1.2. Diagramas de momento flexionante

1.3. Método por secciones

1.4. Método por integración

2. EL ANÁLISIS DE ESFUERZO

2.1. Esfuerzo normal debido a una carga axial

2.2. Esfuerzo cortante

2.3. Esfuerzo de apoyo

2.4. Factor de seguridad

3. EL ANÁLISIS DE DEFORMACIÓN

3.1. Concepto de deformación

3.2. Deformación axial

3.3. Deformación multiaxial

3.4. Deformación térmica

4. ELEMENTOS SUJETOS A TORSIÓN

4.1. Torsión en vigas de sección circular

4.2. El cálculo de árboles de transmisión de potencia

4.3. Ángulo de torsión

4.4. Torsión de barras circulares

5. ESFUERZOS POR FLEXIÓN EN VIGAS

5.1. Flexión en vigas

5.2. Ángulo de flexión

5.3. Efectos combinados

5.4. Flexión en vigas curvas

6. ESFUERZOS COMBINADOS

6.1. Círculo de Mohr para esfuerzos

6.2. Análisis de esfuerzo bajo cargas combinadas

6.3. Estructuras

6.4. Columnas


MECANICA DE MATERIALES:
Rama de la mecanica que estudia los efectos internos del esfuerzo y la deformacion en un cuerpo solido que esta sometido a una carga externa.

  

                               FUERZAS DE SUPERFICIE

- SON CAUSADAS POR EL CONTACTO DIRECTO DE UN CUERPO CON LA SUPERFICIE DEL OTRO.

- ES UNA CARGA LINEALMENTE DISTRIBUIDA: 

COMO EJEMPLO PODEMOS TOMAR EN CUENTA LA BIGA EN DONDE SE TOMA TODO EL AREA.

"SI EL AREA ES PEQUEÑA ENTONCES ES CONOCIDA COMO FUERZA CONCENTRADA."

- EL EJEMPLO CLARO PUEDE SER: 

-SUBE Y BAJA

-UN ARBOL

-LAPIZ QUE ES SOSTENIDO UNICAMENTE POR LA PUNTA.

          

                          CARGAS EXTERNAS: 

LAS CARGAS EXTERNAS SON FUERZAS DE CUERPO EL EJEMPLO QUE PODEMOS RETOMAR ES LA FUERZA QUE PRODUCEN LOS IMANES.

                                        


                      TIPOS DE CONEXION

                                                                        (dar clik para ver imagen completa)

                    

                              ECUACIONES DE EQUILIBRIO

EL EQUILIBRIO DE UN CUERPO REQUIERE UN BALANCE DE FUERZAS.

1.1 - "LA SUMATORIA DE LAS FUERZAS ES EQUIVALENTE A CERO."
1.2-"LA SUMA TOTAL DE LOS MOMENTOS  TIENE QUE SER IGUAL A CERO."

CON FRECUENCIA EN LA PRACTICA DE LA INGENIERIA LA CARGA SOBRE UN CUERPO PUEDE RESULTAR COMO UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES EN EL EJE X,Y.
                        

     CARGAS INTERNAS RESULTANTES

EN LA MECANICA DE MATERIALES LA ESTATICA  SE USA PRINCIPALMENTE PARA DETERMINAR LAS CARGAS RESULTANTES QUE ACTUAN DENTRO DE UN CUERPO.
CUANDO LAS CARGAS INTERNAS SON DESCONOCIDAS  PUEDEN USARSE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO PARA RELACIONAR LAS CARGAS.


                     

           ESFUERZOS Y MOMENTOS
     
N=FUERZA NORMAL
V=ESFUERZO CORTANTE
T=MOMENTO DE TORSIÓN O TORQUE
M=MOMENTO FLEXIONANTE
   
EJERCICIO PROPUESTO PARA ANÁLISIS:
                 (dar clik a la imagen para ver problema propuesto)

                    

EN ESTA IMAGEN SE PUEDE APRECIAR EL PROBLEMA QUE SE ME FUE PROPUESTO EN ESTE CASO SEGUÍ LAS INDICACIONES PARA RESOLVERLO LO CUAL SE NESESITA DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO.

LAS SUMATORIAS DE LAS FUERZAS EN X ERA IGUAL A CERO

FX=A+BX=0
 LAS SUMATORIAS DE LAS FUERZAS EN Y  ES DE 19,600
PARA OBTENER ESTE RESULTADO SE ISO LA OPERACION QUE APARECE A CONTINUACION COMO ESTA RESTANDO PASO SUMANDO Y POR ESO BY=19600

FY=BY-(2000)(9.81)=0     =       BY=19600

DESPUES DE ESTO BUSQUE LAS SUMATORIAS EN LOS MOMENTOSLOS CUALES DAN UN RESULTADO DE 13080
M=A(3)+(19600)(2)=0
A(3)=39240
A=39240/3
A=13080
 BX=13.1

AL FINAL LAS REACCIONES QUE SE OBTUVIERON FUERON  EN:
A=-13.1 KN
BX=13.1 KN
BY=19.6 KN

  UNIDAD II

   Esfuerzo normal debido a una carga axial:

El esfuerzo normal (esfuerzo axil o axial) es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones perpendiculares (normales) a la sección transversal de un prisma mecanico.

Deformación normal bajo carga axial

2 - 4

esfuerzodeformacin normal

 P  Aó L

   

  

 L A P  A P 

   



22

 L L A P 

    



22

Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión normal.

La deformación ocasionada por la carga axial a un área como por ejemplo 
Si tenemos una varilla BC con longitud L con área de sección transversal A suspendida en D , aplicamos una carga axial en C , la varilla tiende a alargarse CL lo = longitud alargada

Esfuerzo normal simple: Esfuerzo resultado de la aplicación de cargas perpendiculares a la sección transversal del elemento. El análisis de cargas y deformaciones resultan en una ecuación para el cálculo de esfuerzos normales debidos a cargas axiales de tensión

A CONTINUACIÓN SE MUESTRA UN EJERCICIO SOBRE ESFUERZO NORMAL CON UNA CARGA AXIAL

La lampara de 80 kg esta sostenida por dos barras AB y BC como se muestra en la figura si AB tiene un diametro de 10 mm y BC un diametro de 8 mm determina el esfuerzo normal promedio en cada barra.

SOLUCIÓN:
Pimero se debe determinar las cargas axiales en cada barra. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio de las fuerzas, se obtiene.

como se puede observar en las operaciones se realizaron las sumatorias de fuerzas en X y en Y para asi poder dar con los resultados de las fuerzas de AB y BC.


NOTA:Como se puede ver en la imagen la fuerza que actua sobre una seccion es mayor mientras que en otra seccion es diferente. por eso en la fuerza que ay de AB es mayor mientras que de BC es diferente.

               

             ESFUERZO CORTANTE

El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q.

Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tencion cortante. Para una pieza prismática se relaciona con la tensión cortante mediante la relación

          Consideraciones para esfuerzos cortantes:

 1. El elemento es rectilíneo. 
2. La sección transversal es constante. 
3. La carga es transversal y estática. 
4. El elemento es homogéneo y de un solo material.           

                       Esfuerzo cortante simple: 

Cuando las cargas aplicadas son paralelas a la sección transversal del elemento, el análisis de cargas y deformaciones resultan en una ecuación para el cálculo de esfuerzos cortantes debidos a cargas axiales de corte:

CASOS DONDE SE APLICA EL ESFUERZO CORTANTE DOBLE

 

EJERCICIO PROPUESTO DE ESFUERZO CORTANTE

En el soporte mostrado la porción superior del eslabon ABC es de 3/8 de grueso y las porciones inferiores son de cada uno de 1/4 de grueso. se utiliza recina epoxica para unir la porcion superior con la inferior en B. el pasador en a tiene un diametro de 3/8 mientras que en c se emplea un pasador de 1/4.
DETERMINE:
A) El esfuerzo cortante en el pasador A.
B)El esfuerzo cortante en el pasador C.
C)El maximo esfuerzo en el eslabon ABC.
D)El esfuerzo cortante promedio en la superficie pegadas en B.
E)El esfuerzo de apoyo en el eslabon E.

SOLUCIÓN: cuerpo libre: soporte entero como el eslabon ABC es un elemento con dos elementos. La reaccion en A es vertical.
la reaccion en B esta representada por sus componentes Dx y D´y.

B)  Esfuerzo cortante en el pasador C. como este pasador de 1/4 de diametro esta en cortante doble se nota:

C) Maximo esfuerzo normal en el eslabon ABC. El maximo esfuerzo se encuentra doble, el area es mas pequeña esto ocurre en la seccion transversal en A donde se localiza el agujero de 3/8. Asi se obtiene que:

D) Esfuerzo promedio en B. Se advierte que existe adhesión en ambos lados de la porcion superior del eslabon y que la fuerza cortante en cada lado es F1=(750lb)/2=375lb por lo tanto el esfuerzo cortante promedio en cada superficie es:

E)  Esfuerzo de apoyo en el eslabon en C. para cada opsion del eslabon F1=375lb y el area nominal de apoyo es de
 (0.25)(0.25)=0.625 in^2.

               FACTOR DE SEGURIDAD


El coeficiente de seguridad o factor de seguridad es un índice de la seguridad que cabe esperar de un determinado diseño desde el punto de vista de su resistencia mecanica. La forma más usual de definir el coeficiente de seguridad de un diseño mecánico es una de las siguientes:

• Como cociente entre la resistencia del material (S) y la tensión realmente existente (σ):

            

• Como cociente entre la fuerza última o máxima para un funcionamiento correcto (F_u) y la fuerza realmente existente (F):

            
Un valor del coeficiente de seguridad superior a la unidad indica seguridad ante el fallo, tanto mayor, cuanto más elevado sea su valor, mientras que un valor inferior a la unidad indica inseguridad o probabilidad elevada de que ocurra el fallo. En función de la variabilidad de las cargas aplicadas y las propiedades del material, cada valor del coeficiente de seguridad se puede asociar a una probabilidad de fallo o de supervivencia de la pieza analizada.

                         DEFORMACIÓN 

 DEFORMACIÓN: como cualquier cambio en la posición o en las relaciones geométricas internas sufrido por un cuerpo como consecuencia de la aplicación de un campo de esfuerzos y explicamos que una deformación puede constar de hasta cuatro componentes: translación, rotación, dilatación y distorsión

Ejemplo de deformación:

Un trozo de plastilina es un ejemplo de un material que sufre una deformación plástica cuando se le aplica una fuerza muy pequeña.

Un trozo de metal cuando se le aplica algo de calor es capaz de sufrir una deformación elástica ya que cuando se enfría regresa a su forma original, pero si se le aplica una fuerza lo suficientemente grande la deformación se vuelva plástica pues no es capaz de regresar a su estado original.

El hule es un material que cuando se le aplica una fuerza sufre de una deformación elástica, es decir, al retirar la fuerza el objeto recupera su forma original, pero si se aplica una fuerza lo suficientemente grande puede romperse y no recuperar su forma original.

Un resorte es otro objeto elástico que al ser deformado es capaz de recuperar su forma original, a menos que se le aplique una fuerza lo suficientemente grande como para hacer que la deformación sea plástica.

DEFORMACIÓN UNITARIA

Todo miembro sometido a cargas externas se deforma debido a la acción de esas fuerzas.

La Deformación Unitaria:  se puede definir como la relación existente entre la deformación total y la longitud inicial del elemento, la cual permitirá determinar la deformación del elemento sometido a esfuerzos de tensión o compresión axial.  

Resistencia mecánica: la resistencia mecánica de un material es su capacidad de resistir fuerzas o esfuerzos. Los tres esfuerzos básicos son:

Esfuerzo de Tensión: es aquel que tiende a estirar el miembro y romper el material. Donde las fuerzas que actúan sobre el mismo tienen la misma dirección, magnitud y sentidos opuestos hacia fuera del material. 

Esfuerzo de compresión: es aquel que tiende aplastar el material del miembro de carga y acortar al miembro en sí. Donde las fuerzas que actúan sobre el mismo tienen la misma dirección, magnitud y sentidos opuestos hacia dentro del material

Esfuerzo cortante: este tipo de esfuerzo busca cortar el elemento, esta fuerza actúa de forma tangencial al área de corte

Elasticidad: Es la propiedad de un material que le permite regresar a su tamaño y formas originales, al suprimir la carga a la que estaba sometido


Plasticidad: Esto todo lo contrario  a la elasticidad. Un material completamente plástico es aquel que no regresa a sus dimensiones originales al suprimir la carga que ocasionó la deformación

Ductilidad: Es la propiedad de un material que le permite experimentar deformaciones plásticas al ser sometido a una fuerza de tensión.

Maleabilidad: Es la propiedad de un material que le permite experimentar deformaciones plásticas al ser sometido a una fuerza de compresión.

Deformación: son los cambios en la forma o dimensiones originales del cuerpo o elemento, cuando se le somete a la acción de una fuerza. Todo material cambia de tamaño y de forma al ser sometido a carga

               La ley Hooke 

expresa que la deformación que experimenta un elemento sometido a carga externa es proporcional a esta.

En el año 1678 por Robert Hooke enuncia la ley de que el esfuerzo es proporcional a la deformación. Pero fue Thomas Young, en el año 1807, quien introdujo la expresión matemática con una constante de proporcionalidad que se llama Módulo de Young.


Deformación que Causan los Cambios de Temperatura 

Los elementos de máquinas cuando están en funcionamiento sufren cambios de temperatura que provocan deformaciones en estos productos de estos diferenciales de temperatura.

Algunos ejemplos de ellos son: las piezas de los motores, hornos, máquinas herramientas (fresadoras, tornos, cortadoras), equipos de moldeo y extrusión de plástico.



                                         UNIDAD III
                       
          

                           TORSIÓN 

Torcion es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecanico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él.

El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:

1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus lineas de flujo "circulan" alrededor de la sección.
2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.

                             Torsión de Saint-Venant pura

La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant da buenas aproximaciones para valores , esto suele cumplirse en:

1. Secciones macizas de gran inercia torsional (circulares o de otra forma).
2. Secciones tubulares cerradas de pared delgada.
3. Secciones multicelulares de pared delgada.

Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo existe giro.

            

        Diagrama momentos torsores.

Al aplicar las ecuaciones de la estatica, en el empotramiento se producirá un momento torsor igual y de sentido contrario a T.

Si cortamos el eje por 1-1 y nos quedamos con la parte de abajo, para que este trozo de eje este en equilibrio, en la sección 1-1 debe existir un momento torsor igual y de sentido contrario. Por tanto en cualquier sección de este eje existe un momento torsor T.

El diagrama de momentos torsores será:

                      Ángulo girado por un eje

Para el estudio de la torsión de un eje cilíndrico vamos a suponer las siguientes hipótesis:

• a) Hipotesis de secciones planas.
• b) Los diámetros se conservan asi como la distancia entre ellos.
• c) Las secciones van a girar como si se tratara de cuerpos rigidos.

 Planteadas estas hipótesis vamos a considerar un elemento diferencial de eje en el que estudiaremos su deformación y después las tensiones a las que esta sometido.

Vamos a aislar el trozo dx de eje.

      Diferencias y equivalencias entre torsión y flexión.

            Flexión acompañada con torsión.

El efecto que produce la carga P es equivalente a un par y a una fuerza actuando en O

Los puntos más peligrosos de la sección de 

empotramiento son el a y el b.

El punto a suele ser mas peligroso que el b, ya que 

tmax del punto a es superior a la del punto b.

   Torsión recta: Teoría de Coulomb

La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tension cortante el cual se calcula mediante la fórmula:

Donde:

TP: Esfuerzo cortante a la distancia ρ.

T: Momento torsor total que actúa sobre la sección.

P: distancia desde el centro geométrico de la sección hasta el punto donde se está calculando la tensión cortante.

J: Módulo de torsión.

Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se deforma una pieza prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría aplicable sólo a elementos sección circular o circular hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos desplazamientos del tipo:

El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento:

A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke llevan a que el tensor tensión viene dado por:

Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relación existente entre la función α y el momento torsor:

Donde i0=iy+iz, es el momento de inercia polar que es la suma de los segundos momentos de área

  

     Analogía de la membrana de Prandtl 

Para secciones macizas de gran rigidez torsional la distribución de las tensiones asociadas a la torsión guarda una analogía mecánica con la deformación de una membrana elastica cuasiplana. Concretamente Prandtl probó en 1903 que la forma que adopta la membrana puede relacionarse con una función de tensiones cuyas derivadas dan las tensiones tangenciales en cada dirección. Dicho de otra manera la pendiente de una membrana de Prandtl deformada coinciden con las tensiones tangenciales de torsión de un prisma mecánico cuya sección transversal tenga precisamente la misma forma que la membrana.

           Torsión en secciones rectangulares  



Como se dijo al comienzo , las secciones más utilizadas en torsión son las circulares, por facilidad de construcción y montaje y porque éstas son las más eficientes bajo esta solicitación de carga.  La ecuación Ss = Tc/J = T/Z’ es válida sólo para secciones circulares, sólidas y huecas; por lo tanto, el estudiante no debería utilizarla para ningún otro tipo de sección.  

La figura 2.27 muestra un elemento de sección rectangular sometido a torsión.  La distribución de esfuerzos cortantes en este tipo de sección es más compleja, y se muestra en la figura 2.28.a.  El esfuerzo es nulo en el centro de la sección, y aumenta, como se ilustra, hacia los puntos medios de los lados de la sección; hacia la esquina de la sección el esfuerzo aumenta hasta cierto punto y luego se reduce hasta alcanzar un valor de esfuerzo cero en la esquina.  El esfuerzo cortante máximo ocurre en el punto medio del lado largo, por lo tanto, este punto es el más crítico.  En el punto medio del lado corto ocurre también un esfuerzo grande, pero menor que el esfuerzo máximo, excepto para secciones cuadradas para las cuales es igual. 

                      ISO 9000:2005 



  
Esta Norma Internacional pretende fomentar la adopción del enfoque basado en procesos para gestionar una organización. 

La Figura 1 ilustra el sistema de gestión de la calidad basado en procesos descrito en la familia de Normas ISO 9000. Esta ilustración muestra que las partes interesadas juegan un papel significativo para proporcionar elementos de entrada a la organización. El seguimiento de la satisfacción de las partes interesadas requiere la evaluación de la información relativa a su percepción de hasta qué punto se han cumplido sus necesidades y expectativas. El modelo mostrado en la Figura 1 no muestra los procesos a un nivel detallado.  

    Torsión de una sección cuadrada 


En la figura  se muestran los resultados obtenidos para una sección cuadrada. Deben notarse los siguientes aspectos.

 Para el estudio de la torsión en miembro de sección 

transversal circular, tres conceptos 

básicos de la mecánica de sólidos fueron aplicados, 

que pueden resumirse de la siguiente manera: 


Las ecuaciones de equilibrio se usan para determinar

 los pares de torsión resistentes internos en una

 sección. 

La geometría de deformación se postula de manera que

 las deformaciones varían linealmente desde el eje del

 miembro.


 Las leyes constitutivas del material se usan para 

relacionar las deformaciones unitarias cortantes con las

 tensiones de corte. 

                     UNIDAD V y VI

ESFUERZOS POR FLEXIÓN EN VIGAS

                      FLEXIÓN

Viga. 

Una viga es una barra recta sometida a fuerzas que actúan perpendicularmente a su eje longitudinal. 

Las vigas pueden ser: 

ISOSTATICAS o estáticamente determinadas. Son aquellas en las que las reacciones en los apoyos se pueden calcular utilizando las Ecuaciones Fundamentales de la Estática: 

   

Las vigas isostáticas pueden ser: 

     Apoyadas                            En voladizo 

HIPERESTATICAS o estáticamente indeterminadas. Son aquellas en las que las reacciones en los apoyos plantean más incógnitas que las que permiten resolver las Ecuaciones Fundamentales de la Estática. Para su resolución se necesitan, además de dichas ecuaciones otras basadas en la deformación de la viga. 

Las vigas hiperestáticas pueden ser: 

Apoyadas y empotradas. 

 Empotradas 

 Continuas. 

Conceptos fundamentales del cálculo de vigas. 

Tipos de carga que actúan sobre una viga.

 Las cargas o fuerzas que actúan sobre una viga pueden ser (ver las figuras del apartado anterior):

 a) Puntuales. 
b) Continuas. 
1) Continuas uniformes 
2) Continuas variables  

Flexión. Como consecuencia de las fuerzas que actúan sobre una viga está se deforma curvándose ligeramente. A esta deformación se le llama FLEXION.
  
 Curva elástica. Es la línea curva que adopta la viga al deformarse como consecuencia de las cargas que soporta. 

Si se establece un sistema de coordenadas x-y, la curva elástica puede definirse mediante una ecuación del tipo y=f(x), obtenida mediante calculo diferencial. 

Los prontuarios facilitan estas ecuaciones para los tipos de viga y cargas más usuales. 
La curva elástica de una viga depende de: 

• Carga.
•  Luz (distancia entre apoyos de una viga. También se llama luz a la longitud de la viga). 
•  Modulo de elasticidad del material de la viga (E).
• Momento de inercia (I=Sd2: sección recta de la viga y su distribución)

FLECHA. Es el valor del desplazamiento vertical que hace la viga en un punto determinado o distancia entre la horizontal y la curva elástica. 

Interesa conocer el valor de la flecha máxima por dos rezones: 

•  Nos da idea de la deformación que sufre la viga. 
•  En la construcción de edificios, se dictan normas que obligan a no sobrepasar unos valores máximos. La flecha máxima permitida suele ser 1/500 de la luz. 

Los prontuarios suelen dar la fórmula para calcular la flecha máxima para los tipos de viga y carga más usuales. 

•  FIBRA NEUTRA. Las cargas o fuerzas externas de una viga le provocan tensiones internas que hacen que se deforme curvándose. Si se observa una sección recta de la viga, en la parte superior se dan tensiones de compresión y en la parte inferior tensiones de tracción. (Además se dan esfuerzos cortantes perpendiculares al eje de la viga, menos importantes que los de tracción-compresión). 

Se observa además, que los esfuerzos de compresión y de tracción son variables a lo largo de la sección (desde arriba hacia abajo), y el lugar de transición de compresión a tracción es el centro de gravedad de la sección. La línea longitudinal que pasa por el c.d.g. de la sección se llama línea neutra porque en ella no se da ningún esfuerzo. 

A la fibra de material situada en la línea neutra se le llama FIBRA NEUTRA. 

FLEXIÓN EN VIGAS 

Las vigas o arcos son elementos estructurales pensados para trabajar predominantemente en flexión. Geométricamente son prismas mecanicos cuya rigidez depende, entre otras cosas, del momento de inercia de la sección transversal de las vigas. Existen dos hipótesis cinemáticas comunes para representar la flexión de vigas y arcos:

La hipótesis de Navier-Euler-Bernouilli. En ella las secciones transversales al eje baricentrico se consideran en primera aproximación indeformables y se mantienen perpendiculares al mismo (que se curva) tras la deformación.

La hipótesis de Timoshenko. En esta hipótesis se admite que las secciones transversales perpendiculares al eje baricéntrico pasen a formar un ángulo con ese eje baricéntrico por efecto del esfuerzo cortante.

Una viga se encuentra sometida a Flexión Pura cuando el momento Flector es la única fuerza al interior de la sección. 

Ejemplo: 

 Una viga simplemente apoyada de luz “L” y solicitada por dos cargas “P”, ubicadas a una distancia “a” de cada uno de los apoyos. 

Calculemos las reacciones en los apoyos y a continuación los diagramas de esfuerzos internos (N,Q y Mf). 

Una viga se encuentra en Flexión Compuesta, cuando el Momento Flector está acompañado por un esfuerzo Normal, para producir una fuerza al interior de la sección. 

 - Flexión Simple

Se dice que la Flexión es Simple cuando la deformada del eje de la barra es una curva contenida en el plano de las solicitaciones. 

Si el plano de las solicitaciones pasa por uno de los ejes principales de inercia de la sección transversal, entonces la Flexión se denomina Simple ó Plana.                   

Analicemos una pequeña porción del tramo central de viga sometida a Flexión Pura 

Existe una sección “c” dentro de la viga que no se acorta ni se alarga, es decir, e x = 0, tal como lo muestra la figura adjunta.

ANGULO DE DEFLEXIÓN

 Se denomina ángulo de deflexión al ángulo que forma la línea de una poligonal, con la prolongación de la línea o segmento anterior. El ángulo se mide siempre desde la prolongación de la línea anterior hasta la línea. Se llama deflexión positiva o derecha cuando el ángulo se mide en sentido horario y negativa o izquierda cuando el ángulo se mide en sentido contra horario.

                       

              ESFUERZOS COMBINADOS

Analisis de esfuerzos por cargas combinadas

El esfuerzo es una cantidad que se define y que es indispensable para formular y resolver problemas de la mecánica de los cuerpos deformables.

Los esfuerzos normales y cortantes en vigas, ejes (o flechas) y barras pueden derivarse a partir de las diversas fórmulas.

Las condiciones de esfuerzos existentes en barras cargadas axialmente, barras en torsión y vigas son ejemplos de un estado de esfuerzo llamado esfuerzo plano. En un esfuerzo plano, sólo las caras X y Y del elemento están sometidos a esfuerzos, actúan paralelos a los ejes X y Y (fig. 6-1 a).

Cargas Combinadas (Esfuerzo Plano):

Los miembros estructurales a menudo requieren soportar más de un tipo de carga. El análisis de un miembro sometido a tales cargas combinadas puede realizarse usualmente mediante la superposición de  los esfuerzos debidos a cada carga que actúa separadamente. La suposición  de los esfuerzos  son funciones lineales de las cargas y no hay efectos interactivos entre las diferentes cargas. El último requisito satisface usualmente si la de flexiones y rotaciones de la estructura son pequeñas.

El análisis se inicia con la determinación de los esfuerzos  debido a las fuerzas axiales, pares, fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Luego, tales esfuerzos se combinan para obtener los esfuerzos resultantes, después de lo cual pueden analizarse los esfuerzos que actúan en direcciones inclinadas mediante las ecuaciones de transformación o el círculo de Morh. En particular, pueden calcularse los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos. De esta manera pueden analizarse cualquier número de localizaciones críticas en el elemento ya se confirmado que el diseño es adecuado, o si los esfuerzos son muy grandes  o muy pequeños, indicando que son necesarios algunos cambios en el diseño.

Ejemplo: Considérese la barra maciza en voladiza mostrada en la fig. 6-31 a. La barra está cargada en su extremo libre por un par torsionante T y una fuerza lateral flexiónate P. Estas cargas producen en cada sección transversal un momento de flexión M, una fuerza cortante V y  un momento de torsión T cada uno de los cuales produce esfuerzos que actúan sobre las secciones transversales. Si se separa un elemento esforzado A en la parte superior de la barra. Se aprecia que está sometido a un esfuerzo de flexión =Mr/I y a esfuerzo

cortante 𝜏= Tr. En estas expresiones, r es el radio de la barra, I es el momento de inercia respecto al eje z (el eje neutro) e . Es el momento polar de inercia. En la parte superior de la barra no hay esfuerzos cortantes asociados con la fuerza cortante V. Luego el elemento  en A está sometido a esfuerzo plano, como se muestra en la fig. 6-31 b. Si se supone que  y 𝜏 se han calculado, se produce a determinar los esfuerzos sobre un elemento girado a cualquier ángulo deseado. Los esfuerzos normales máximos y mínimos en el punto A son los esfuerzos principales deducidos  a:

También, el esfuerzo cortante máximo localizado en el plano es mayor que los esfuerzos cortantes fuera del plano. Esfuerzos máximos pueden compararse en los esfuerzos normal y cortante permisibles al verificar si la barra es adecuada. Por supuesto, los esfuerzos son  mayores cuando el elemento A está localizado en el empotramiento de la viga, donde el momento flexionante M tiene su valor máximo. Por lo que la parte superior del empotramiento de la viga es uno de los puntos críticos donde deben analizarse los esfuerzos.

        VIGAS CURVAS EN FLEXIÓN

 ESFUERZOS EN VIGAS CURVAS EN FLEXIÓN

Para determinar la distribución del esfuerzo en un elemento curvo en flexión se  que:
La sección transversal tiene un eje de simetría en un plano a lo largo de la longitud de la viga.
Las secciones transversales planas permanecen planas después de la flexión.
El módulo de elasticidad es igual en tracción que en compresión.
El eje neutro y el eje centroidal de una viga curva, no coinciden y el esfuerzo no varía en forma lineal como en una viga recta.

Variación lineal de los esfuerzos en una viga recta y su distribución hiperbólica en una viga curva

  

ro = Radio de la fibra externa.
ri  = Radio de la fibra interna.
rn = Radio del eje neutro.
rc = Radio del eje centroidal.
h  = Altura de la sección.
co = Distancia del eje neutro a la fibra externa.
ci = Distancia del eje neutro a la fibra interna.
e  = Distancia del eje neutro al eje centroidal.
M = Momento flexionante, un M positivo disminuye la curvatura.

EjemploN°4.1: Grafique la distribución de los esfuerzos que actúan en toda la sección A-A del gancho de grúa de la fig. La sección transversal es rectangular con b=0.75” y h=4” la carga a levantar es de 5000 lb.

Solución:

Área = A = bh = 0.75 x 4 = 3” pulg2

dA = b.dr

Se sabe que:

Reemplazando valores:

Por tanto la excentricidad:

El momento M (positivo)

El esfuerzo será:

 VIGAS CURVAS CON CARGAS CONTENIDAS EN EL PLANO

 CALCULO DE SOLICITACIONES 

Cuando tanto el eje de la viga como las cargas están contenidas en un mismo plano xy, y además uno de los ejes principales de inercia esta en dicho plano, la viga después de deformada seguirá estando en el mismo y los esfuerzos que puedan existir son: 

• Momento flector Mz 

• Esfuerzo axial Nz 

• Esfuerzo de corte Qy La convención de signos será la siguiente: 

  Mz (+): Si tracciona las fibras del lado convexo 

• Nx (+): Si tracciona el elemento 

• Qy (+): Si tiende a producir un giro horario 

Para la determinación de los esfuerzos característicos se pueden seguir dos caminos.

 a) Determinando el valor por puntos en un numero de secciones determinado por definición. 

b) Plantando y resolviendo las ecuaciones diferenciales que ligan los esfuerzos con las cargas externas. En general resulta más sencillo resolver por secciones, aunque daremos las indicaciones para poder abordar por cualquiera de los dos caminos.

 a) Por definición:

 Se consideran todas las cargas que quedan a la derecha o a la izquierda de la sección en análisis según convenga, y se reducen a una resultante con un par resultante en la sección.

El momento flector es el par (producto de las fuerzas por las distancia correspondientes). 

El axial y el corte surgen de la proyección de la resultante según la tangente la normal al eje de la pieza en esta sección

                     CIRCULO DE MOHR

CIRCULO DE MOHR

Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.

Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.

Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones:

Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la matemática siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de ser asociado con el modelo físico:

En la figura, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han sido rotados un ángulo θ respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y tangente al plano Aθ respectivamente.

El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingenieria y geofisica para representar graficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencias (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzos cortantes máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

        Círculo de Morh para la tracción simple.

El circulo de Morh es un circulo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección inclinada cualquiera de la barra.

El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

El circulo de Mohr  se construye de la siguiente forma:

Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abcisas situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. A continuación se traza la circunferencia como se puede ver en la figura.

Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras perpendiculares definen un diámetro del circulo de morh.

Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares  son iguales y de sentido contrario.

 Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles:

– El sentido de giro del ángulo j en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad.

– El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario.

– El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes.

                          columnas

La estructura es un elemento o conjunto de elementos unidos entre si, con la finalidad de soportar diferentes tipos de esfuerzos.
las estructuras se pueden dividir en dos tipos de grupos segun la posicion de sus elementos (horizontal-vertical) o la movilidad de sus elementos (rigidas-verticales)

Para el diseño y construcción de estas hay que tener en cuenta las propiedades mecánicas de los materiales  y el tipo de esfuerzos al que van a estar sometidos estos.

-Algo que también hay que tener en cuenta es la estabilidad de la estructura, para ello hay que tener en cuenta la situación centro de gravedad y la amplitud de su base de apoyo.

Centro de gravedad es el punto donde confluye la fuerza resultante de la suma de todas las fuerzas que constituyen el peso del cuerpo o estructura. Para hallarlo hay que hacer las medianas de cada uno de sus lados(hallar el baricentro). Contra más cerca del suelo este mas estabilidad tendrá la estructura.

TIPOS DE ESTRUCTURAS

Estructuras horizontales y verticales

Las estructuras verticales son aquellas en las que los elementos que soportan los mayores esfuerzos están colocados en posición vertical.

Las estructuras horizontales son aquellas en las que los elementos que soportan los mayores esfuerzos se hallan colocadas horizontalmente. En este tipo de estructuras los elementos sometidos a mayor esfuerzo trabajan a flexión.

en las estructuras horizontales se emplean figuras geométricas curvas como el arco

Estructuras rígidas y estructuras articuladas. 

Las estructuras rígidas son aquellas que no se deforman cuando se les aplica diferentes fuerzas, excepto si sus elementos se rompen.

Las estructuras articuladas son aquellas en las que cuando se les aplica una fuerza, la estructura se deforma, controladamente,  al desplazarse los elementos que  la integran.

El triangulo es un estructura  rígida, en cambio las formas como el cuadrado ,pentágono, hexágono, etc...pueden articularse por sus vértices. A pesar de ello se pueden transformar en estructuras rígidas si les añadimos algún elemento como puede ser una escuadra, cartelas , arcos ,tirantes, barras puestas de forma que la figura quede compuesta de varios triángulos, etc... que dan rigidez  a la figura 

 Columnas

Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto su longitud, para que abajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento. Las columnas suelen dividirse en dos grupos: “Largas e Intermedias”. A veces, los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo de columnas. Las diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento. Las columnas largas re rompen por pandeo o flexión lateral; las intermedias, por combinación de esfuerzas, aplastamiento y pandeo, y los postes cortos, por aplastamiento.
Una columna ideal es un elemento homogéneo, de sección recta constante, inicialmente perpendicular al eje, y sometido a compresión. Sin embargo, las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de fabricación, así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga. La curvatura inicial de la columna, junto con la posición de la carga, dan lugar a una excentricidad indeterminada, con respecto al centro de gravedad, en una sección cualquiera. El estado de carga en esta sección es similar al de un poste corto cargado excéntricamente, y el esfuerzo resultante está producido por la superposición del esfuerzo directo de compresión y el esfuerzo de flexión (o mejor dicho, por flexión).
Si la excentricidad es pequeña u el elemento es corto, la flexión lateral es despreciable, y el esfuerzo de flexión es insignificante comparado con el esfuerzo de compresión directo. Sin embargo, en un elemento largo, que es mucho más flexible ya que las flexiones son proporcionales al cubo de la longitud, con u valor relativamente pequeño de la carga P puede producirse un esfuerzo de flexión grande, acompañado de un esfuerzo directo de compresión despreciable. Así, pues, en las dos situaciones extremas, una columna corta soporta fundamentalmente el esfuerzo directo de compresión, y una columna larga está sometida principalmente al esfuerzo de flexión. Cuando aumenta la longitud de una columna disminuye la importancia y efectos del esfuerzo directo de compresión y aumenta correlativamente las del esfuerzo de flexión. Por desgracia, en la zona intermedia no es posible determinar exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, o la proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total. Es esta indeterminación la que da lugar a la gran variedad de fórmulas para las columnas intermedias.

No se ha dado, hasta aquí, criterio alguno de diferenciación entre columnas largas e intermedias, excepto en su forma de trabajar, es decir, la columna larga está sometida esencialmente a esfuerzos de flexión y la intermedia lo está a esfuerzos de flexión y compresión directa. La distribución entre ambos tipos de acuerdo con su longitud sólo puede comprenderse después de haber estudiado las columnas largas.